دنباله فيبوناچي و عدد طلايي


اگر فرض کنيم ، n مين جمله از « دنباله فيبوناچي » باشد آنگاه اين دنباله به صورت زير تعريف مي شود :

علم گذر

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید . اگر این معادله ساده یعنی a 2 =a*b+b 2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید .


شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد .

برش اهرام و نسبت طلایی

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد . این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi 2 =phi+b 2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند (


طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد .


کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد ".


تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد که در آینده راجع به آنها صحبت خواهیم کرد .

لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند . اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد آ نها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند . پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود . چون در شروع دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند .

سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند : Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند .. تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده میشود.

با استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
سری اعداد Fn را دنباله فیبوناچی دنباله فيبوناچي و عدد طلايي مینامند. با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1 و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند )

حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم کنیم یک همچین سری را خواهیم داشت :

که هرچه جلو بریم بنظر می اید که به یک عدد مخصوص میرسیم.

ما این عدد را عدد طلایی مینامیم که این عدد تقریبا برابر است با : . 1.618033

به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی میرسد.

سری فیبوناچی در طبیعت :

حالا میام و به این دنباله به صورت دیگری نگاه میکنیم : اگر ما دو مربع به ضلع یک در کنار هم بگزاریم و در بالا آندو یک مربع با ضلع 2 بگزاریم و همین طوری تا اخر .

این مستطیل به مستطیل فیبوناچی معروف است.

از دیگر مثالهای این دنباله در طبیعت میتوان به دانه های گل افتابگردن یا به تعداد گلبرگ بعضی گلها اشاره کرد .


قبلا در مورد چگونگی بدست اوردن عدد طلایی از طریق دنباله فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست اوردن این عدد صحبت میکنیم .

در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند که از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا کنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .

در دنیای ریاضی این عدد را با نشانه یونانی (خوانده میشود فی ) نمایش میدهند

استفاده های این عدد :

هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یکی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست .
اگر عرض یکی از شالهای این هرم را بر فاصله نوک هرم تا نقطه وسط کف هرم تقسیم کنیم جواب 1.6 خواهد بود .

باستان شناسان مطمئن نیستند که آیا این کار از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !
مطلب جالب دیگر این است که اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع آن تقسیم کنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .

مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا که در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است .

چگونگی کشیدن یک مستطیل طلایی :

برای کشیدن یک مستطیل طلایی ابتدا بک مربع با ضلع دلخواه کشیده سپس وسط ضلع پایین این مربع را پیدا کنید.بعد از این با یک پرگار یک قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بکشید تا طول مستطیل معلوم شود .

از استفاده های دیگر این عدد :

- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد آن فرد باهوشتر است.البته این ثابت نشده است .

- طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید . اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (دنباله فيبوناچي و عدد طلايي تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید. جواب ؟

با سلام
سعی شده است در این وبلاگ مطالب جدید علمی گذاشته شود . امید است از این مطالب لذت ببرید .
« با تشکر گروه KF »

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

20 شهریور 1386 مدیر سایت مجموعه اصلی: شگفتی ها وزیبایی های ریاضی مجموعه: فصل اول : زیبایی در اعداد منتشر شده در 20 شهریور 1386 آخرین ویرایش در تاریخ 17 فروردين 1392 تعداد بازدید: 18048

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره

اعداد و دنباله فيبوناچي چه طور اعدادي هستند و از کجا آمده اند؟

موضوعاتي که مانند ِ « اعداد فيبوناچي » در رياضيا نفوذ کرده باشند، زياد نيستند. اعداد فيبوناچي از يکي از کتاب هاي مهم ِ غربي به ما رسيده اند. نام اين کتاب « Liber abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در ميان عواممردم به « فيبوناچي – Fibonacci , 1180-1250 » يا « پسر بوناچي » مشهور است.کتاب فيبوناچي ، اولين کتاب انتشار يافته در اروپا است که از اعداد عربي – هندي استفاده کرده است. اعداد هندي -عربي اعداد 0 تا 10 هستند که مبناي سيستم دهدهي هستند. اين کتاب همچنين موارد و مسائلي در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فيبوناچي از همين مسائل آمده اند.

به يکي از مسائل اين کتاب توجه کنيد :

. « در پايان يک سال چند جفت خرگوش خواهيم داشت اگر : در ابتداي سال يک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشيم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، يک جفت نوزاد توليد کند که نوزادان از ماه دوم توانايي توليد نوزاد دارند . ؟ » .

« دنباله فيبوناچي » از همين مسأله تولد خرگوش به دست مي آيد.

براي حل اين مسأله ، جفت خرگوش هاي بالغ را A مي دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ناميم . اين جفت ها در پايان هر ماه يک جفت نوزاد، که آن ها را B مي ناميم، توليد مي کنند. نوزادانبعد از يک ماه بالغ مي شوند و يک جفت خرگوش A مي شوند که پس از آن توانايي توليد مثل دارند. به اين ترتيب به الگوي زير دست مي يابيم :

تعداد جفت هاي بالغ در ابتداي هر ماه از « دنباله ي فيبوناچي » پيروي مي کند :

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233

اگر فرض کنيم ، n مين جمله از « دنباله فيبوناچي » باشد آنگاه اين دنباله به صورت زير تعريف مي شود :

به زبان ساده دنباله اعداد فيبوناچي اين گونه است :

دو جمله ي اول اين دنباله برابر با 1 است و از جمله ي سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ي قبل از خودش برابر است.

شايد بپرسيد دنباله ي فيبوناچي جه دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ويژگي هايي دارد که اين قدر مهم جلوه مي کند ؟

يکي از ويژگي هاي دنباله فيبوناچي ، رابطه ي آن با « نسبت طلايي » است. براي پي بردن به اين مطلب ، نسبت ِ يک جمله از دنباله فيبوناچي را به جمله ي قبل از آن تشکيل مي دهيم. اين کسر ها به « نسبت طلايي » ميل مي کنند :

نسبت طلايي را در فصل چهارم از شگفتي ها و زيبايي هاي رياضي بررسي خواهيم کرد، اما خوب است بدانيد نسبت طلايي را با نمايش مي دهيم و رابطه ي زير نيز بين دنباله ي اعداد فيبوناچي و توان هاي نسبت طلايي برقرار است :

اگر به ضرايب ِ نسبت طلايي در سمت راست تساوي ها دقت کنيم متوجه مي شويم که اين ضرايب هملن اعداد ِ دنباله فيبوناچي هستند و ثابت ها ي جمعي نيز اعداد فيبوناچي هستند که يک جمله ديرتر آمده اند .

باور نکردني است که دو چيز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، اين گونه رابطه ي تنگاتنگي با هم داشته باشند. در اين موارد است که رياضيات شگفت انگيز مي شود .

دنباله ی فیبوناتچی در عکاسی

شاید تا به حال اسم دنباله ی فیبوناتچی به گوش شما خورده باشد. یا شاید هم به طور کامل آن را از درس ریاضیات به خاطر داشته باشید. دنباله ی فیبوناتچی به مجموعه ای از اعداد گفته می شود که هر عددش از جمع دو عدد قبلی خود حاصل می شود. این دنباله عبارت است از:

0, 1, 1, دنباله فيبوناچي و عدد طلايي 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

دنباله ی فیبوناتچی یکی از شناخته شده ترین سری های اعداد است که نه تنها در ریاضی بلکه در بسیاری از وجه های دیگر زندگی نیز کاربرد دارد. از تقسیم دو عدد کنار هم در این دنباله عدد ثابتی به دست می آید که عدد فی نام دارد. عدد فی برابر با 1.618 است و این عدد نیز جزء معروف ترین اعداد محسوب می شود. از آن جایی که نسبت فی یک نسبت خاص است که در بسیاری از اجزای طبیعت، از گل ها و گیاهان و زاد و ولد حیوانات و . گرفته تا کهکشان ها رعایت شده است، به این عدد؛ عدد خدا، عدد طلایی، نسبت طلایی یا نسبت الهی نیز گفته می شود.

بر مبنای دنباله ی فیبوناتچی و عدد فی یک نمودار حلزونی کشیده می شود که دنباله ی آن با این نسبت بزرگ می شود. این نمودار را می توانید در تصویر زیر مشاهده کنید. همچنین وجود این نمودار در بسیاری از اجزای طبیعت نیز در عکس زیر مشاهده می شود.

دنباله ی فیبوناتچی در عکاسی

جالب این که علاوه بر اجزای طبیعت، بسیاری از آثار نقاشی و معماری به جای مانده از پیشینیان نیز دارای دنباله ی فیبوناتچی و نمودار آن هستند و این نسبت در آن ها رعایت شده است. در تصویر زیر می توانید این نمودار را در نقاشی مونالیزای داوینچی مشاهده کنید.

دنباله ی فیبوناتچی در عکاسی

استفاده از مارپیچ طلایی در عکاسی نیز مطرح است و یکی از قوانین ترکیب بندی به شمار می رود. برای استفاده از این مارپیچ می توان به دو صورت عمل کرد. یا این که از عکاسی از سوژه ای باشد که این مارپیچ در آن وجود دارد و دنباله فيبوناچي و عدد طلايي یا این که ترکیب المان های موجود در عکس و محل قرار گیری آن ها در نقاطی باشد که مارپیچ طلایی به طور فرضی در آن ترسیم شده است.

عجایب اعداد فیبوناچی

عجایب اعداد فیبوناچی

تبيان/ اعداد فيبوناچي در هستي کشف شده اند. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفي در جهات مختلف رشد نمي کنند. اندازه گيري زاويه شاخه ها نشان مي دهد که در الگوي رشد آن ها، نظمي شبيه دنباله فيبوناچي و نسبت طلايي وجود دارد. سري فيبوناچي اگر به رياضيات علاقه داشته باشيد، حتما با "سري فيبوناچي" آشنا هستيد. سري فيبوناچي رشته ‌اي از اعداد است که در آن اعداد غير از دو عدد اول با محاسبه‌ ي مجموع دو عدد قبلي ايجاد مي‌شوند. اولين اعداد سري فيبوناچي عبارت‌اند از: ۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱ "عدد في" از دنباله ي فيبوناچي مشتق شده است، تصاعد مشهوري که شهرتش تنها به اين دليل نيست که هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي کند. بلکه به اين دليل است که خارج قسمت هر دو جمله ي کنار هم خاصيت حيرت انگيزي نزديک به عدد 1.618 را دارد که به "نسبت طلايي" مشهور است. اين اعداد به نام لئوناردو فيبوناچي رياضيدان ايتاليايي نام گذاري شده‌است. وي نخستين رياضيدان بزرگ اروپا در قرن سيزدهم است که بيشتر فعاليت هايش از آثار رياضيدان‌هاي مسلمان به خصوص خوارزمي، کرجي و ابوکامل تأثير پذيرفته است.در دوران حيات فيبوناچي مسابقات رياضي در اروپا بسيار مرسوم بود در يکي از همين مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پيزا توسط امپراتور فردريک دوم برگزار شده بود مسئله زير مطرح شد: «فرض کنيم خرگوش‌هايي وجود دارند که هر جفت (يک نر و يک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگي رسيده باشند به ازاء هر ماه که از زندگي‌شان سپري شود يک جفت خرگوش متولد مي‌کنند که آنها هم از همين قاعده پيروي مي‌کنند حال اگر فرض کنيم اين خرگوشها هرگز نمي‌ميرند و در آغاز يک جفت از اين نوع خرگوش در اختيار داشته باشيم که به تازگي متولد شده‌اند حساب کنيد دنباله فيبوناچي و عدد طلايي پس از n ماه چند جفت از اين نوع خرگوش خواهيم داشت.» حال اگر تعداد خرگوش ها را در ماههاي اول و دوم و . حساب کنيم به دنباله زير خواهيم رسيد که به دنباله فيبوناچي مشهور است. ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,… فيبوناچي با حل اين مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان رياضيات معرفي کرد که خواص شگفت‌انگيز و کاربردهاي فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر رياضي‌دانان بلکه دانشمندان بسياري از رشته‌هاي ديگر را به خود جلب کرده است. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است اعداد فيبوناچي در قالب طبيعت با وجود گستردگي طبيعت و وجود انواع موجودات پيرامون انسان‌ها، نظم خاصي بر همه چيز حاکم است که با پيشرفت علوم بشري، اين نظم بيش از پيش مشخص‌تر مي‌شود. شايد در زمان يادگيري برخي از مفاهيم علمي، بسياري از موارد بي معني به نظر برسد، اما نظم خاصي در پشت همه چيز نهفته است. رياضيات يکي از علوم پايه است که کشف اسرار آن، کليد حل معماي موجود در طبيعت است. اعداد فيبوناچي در هستي کشف شده اند. در قسمت لاک حلزون از زاويه في استفاده شده است. شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفي در جهات مختلف رشد نمي کنند. اندازه گيري زاويه شاخه ها نشان مي دهد که در الگوي رشد آن ها، نظمي شبيه دنباله فيبوناچي و نسبت طلايي وجود دارد. درختان با پيروي از اين نوع الگوي رشد، قادرند درصد بيشتري از نور خورشيد را جذب کنند. نسبت طلايي (1.618) در ساختار آفتابگردان نيز بکار رفته است دانه هاي آفتابگردان به شکل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي کنند. طبق تحقيقات انجام شده نسبت قطر هر مارپيچ به مارپيچ بعدي 1.618 است. حتي در ساختار شکل گوش ما هم از اين اعداد تبعيت شده است. نسبت طلايي (1.618) در آناتومي بدن انسان نيز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودي ناف تا نوک انگشتان خود تقسيم کنيد، تقريبا عدد 1.618 را بدست مي‌آوريد. با تقسيم طول بازوي خود از نوک انگشت بزرگ تا بالاي شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نيز به اين نسبت مي‌رسيد. از آنجايي که اين نسبت در بسياري از اندازه‌هاي بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهي نيز ياد مي‌شود. علاوه بر طبيعت، از زمان باستان بسياري از هنرمندان و معماران نيز از رابطه‌هاي رياضي و هندسي در آثار خود استفاده مي‌کردند. براي مثال مي‌توان به آثار تاريخي باقي مانده از دوران مصر باستان، يونان و رم اشاره کرد. مثلا معبد معروف پارتنون بهترين مثال از کاربرد نسبت طلايي (1.618) است. نسبت عرض به طول پنجره‌هاي مستطيل شکل معبد همگي برابر نسبت طلايي است. در اهرام مصر نيز اين نسبت بخوبي رعايت شده است. طول هر ضلع قاعده هرکدام از اهرام به ارتفاع آن، معادل نسبت طلايي مي‌باشد.

آموزش ریاضی

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند . اگر هيچ خرگوشي دنباله فيبوناچي و عدد طلايي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها F n را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.
پس F 1 =1 و F 2 =2 خواهد بود . چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند.
سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم ميشوند: F n-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند . تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با F n-1 نشان داده ميشود .
پس :

F n = F n-1 + F n-2

با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F 1 =1 و F 2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F 12 =233 .
سري اعداد F n را دنباله فيبوناچي مينامند. با يك توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت:

1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1?5, 5 / 3 = 1?666. 8 / 5 = 1?6, 13 / 8 = 1?625, 21 / 13 = 1?61538 و .

كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:

ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : . 1.618033

به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي ميرسد:

سري فيبوناچي در طبيعت:

حالا ميام و به اين دنباله به صورت ديگري نگاه ميكنيم : اگر ما دو مربع به ضلع يك در كنار هم بگزاريم و در بالا اندو يك مربع با ضلع 2 بگزاريم و همين طوري تا اخر . ما شكلي خواهيم داشت مثل شكل پايين :

اين مستطيل به مستطيل فيبوناچي معروف است.حالا اگر نقاطي از اين شكل را به هم وصل كنيم به شكل زير ميرسيم :

كه شبيه اين شكل را ميتوان در طبيعت و در شكل زير ديد:

از ديگر مثالهاي اين دنباله در طبيعت ميتوان به دانه هاي گل افتابگردن يا به تعداد گلبرگ بعضي گلها اشاره كرد

عدد طلايي

قبلا در مورد چگونگي بدست اوردن عدد طلايي از طريق دنباله فيبوناچي صحبت شد.حالا در مورد راههاي ديگر بدست اوردن دنباله فيبوناچي و عدد طلايي اين عدد صحبت ميكنيم .

در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .
چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :

حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است:

در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني (خوانده ميشود في ) نمايش ميدهند .

استفاده هاي اين عدد:

هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست .
اگر عرض يكي از شالهاي اين هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسيم كنيم جواب 1.6 خواهد بود .

باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است !
مطلب جالب ديگر اين است كه اگر قطر اين هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسيم كنيم جواب عدد پي (3.14) خواهد بود .

مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دنباله فيبوناچي و عدد طلايي دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است:

در شكل زير نقشه اين بنا را ميتوانيد ببينيد . امتحان كنيد ببينيد وقتي طول هر كدام از مستطيلهاي در شكل را به عرض ان تقسيم ميكنيد عدد طلايي بدست مي ايد؟؟؟

چگونگي كشيدن يك مستطيل طلايي:

براي كشيدن يك مستطيل طلايي ابتدا بك مربع با ضلع دلخواه كشيده سپس طبق شكل زير وسط ضلع پايين اين مربع را پيدا كنيد.بعد از اين با يك پرگار يك قوس با شعاعي به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بكشيد تا طول مستطيل معلوم شود.

از استفاده هاي ديگر اين عدد :
- هر گاه شما طول صورت فردي را به عرض ان تقسيم دنباله فيبوناچي و عدد طلايي كنيد هر چقدر اين عدد به عدد طلايي نزديكتر باشد ان فرد باهوشتر است.(اين ثابت نشده است .

- طول هرسه بند انگشت يكي از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگيريد. اندازه بند بالايي را به وسطي تقسيم كنيد. عددي در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعيين نسبت) را در مورد بند وسط به بند كوچك انجام دهيد. جواب ؟

- از طريق اين عدد متوان مقدار پي را تا دو رقم اعشار دقيق بدست اورد :

در اين سايت http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htmميتوانيد عدد طلايي را تا پنجاه هزار رقم اعشار ببينيد !!
سايتيhttp://goldennumber.net/ كامل و جامل در باره عدد طلايي ! (حتما توصيه ميشود)

من علی بازوبندی دبیر ریاضی در بخش تحت جلگه از توابع شهرستان نیشابور در خراسان رضوی هستم . این وبلاگ را با هدف هم فکری با همکاران در امور مربوط به تدریس ایجاد کرده ام .
منتطر همکاری ونظرات و پیشنهادات تمامی همکاران هستم .
دوستدار شما :بازوبندی



اشتراک گذاری

دیدگاه شما

اولین دیدگاه را شما ارسال نمایید.